量子力学是怎么被建立起来的？《张朝阳的物理课》介绍薛定谔方程的猜测过程

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为什么需要量子力学？薛定谔方程是怎么提出来的？5月6日，《张朝阳的物理课》线下第三课开讲，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳从能量阶梯讲到经典物理的危机，说明了量子力学的必要性，然后介绍薛定谔方程是怎么被猜出来的，并从原始薛定谔方程推导出定态薛定谔方程，继而介绍希尔伯特空间、正交基展开等一系列与量子力学有关的概念。此外，中国科学院物理研究所副研究员、物理所科学传播协会骨干成员李治林，中国科学院物理研究所博士研究生白睿作为特邀嘉宾来到课堂，与物理爱好者们进行了深入的互动交流。

量子力学对现实世界的意义 能量阶梯

本次线下课，张朝阳开门见山地先介绍起了量子力学。张朝阳介绍，量子力学对宇宙中物质结构的形成意义非凡。根据经典物理，电子绕着原子核旋转，就像太阳系中行星绕着地球旋转一样；由于电子带有电荷，它做圆周运动时具有加速度，从而会辐射电磁波，导致原子的总能量不断降低，电子最终会坠入原子核。但是现实中的原子是稳定的，这与经典物理的预言相差很大。要对这一切作出解释，就必须要用到量子力学。在量子力学里，位置和动量是不能同时精确测量的，这就是不确定性原理。位置和动量的不确定度满足

其中h上加一横是约化普朗克常数，等于h/(2π)，h是普朗克常数。如果电子掉进了原子核里，由于原子核的尺度很小，从而电子的位置不确定度很小，相应的动量的不确定度很大，于是电子的动量在很大概率上能够使得电子逃离原子核的束缚。从这个角度讲，量子力学的不确定性原理确保了原子核的稳定性。

如果现实世界的物理是经典物理，或许我们现在的物质结构将无法形成。正因为量子力学原理的限制，原子才不会发生坍塌。同时，量子力学还保证了原子的同一性。宇宙在38万岁的时候产生的氢原子与今天的氢原子是一样的(假设都处于基态)。这种性质是经典物理无法提供的。

接着，张朝阳介绍了“能量阶梯”的相关知识。不同类型的物理过程对应的特征能量标度存在数量级上的差异。比如化学变化所对应的能量标度为几个电子伏特，而核反应对应的能量标度可达兆电子伏特。能量标度的不同决定了各温度下的主要物理过程。比如室温下能发生的过程主要是化学过程，而要发生核聚变则需要达到百万开尔文的温度(注：原子核衰变是一个自发过程，即使在低温下也能发生)。正因为能量阶梯的存在，宇宙在大爆炸之后不断膨胀，温度不断降低，从而从高到低经历各个能量标度，这就决定了宇宙的物质形成是分阶段的。直到宇宙诞生38万年后，质子才捕获电子形成了原子。

借着能量标度的概念，张朝阳介绍说元素周期表是化学周期表，对应的是化学过程。虽然同位素的中子数不一样，但是因为带有相同数量的质子，导致核外电子结构几乎一致。化学反应主要由核外电子决定，所以同位素的化学性质几乎一样。但是在物理上，同位素对应的原子不是同一种粒子，它们的物理性质可能差别很大。比如，对比放射性元素铀-235和铀-238，在核裂变和链式反应方面，两者差别明显，一般用铀-235作为核反应的原料。

经典物理的危机 波粒二象性

张朝阳介绍了和量子力学有关的三个经典物理危机：双原子分子气体的比热问题、黑体辐射和光电效应。

对于双原子分子气体，它有3个平动自由度，2个转动自由度，以及2个振动自由度，根据能量均分原理，单个分子的平均能量应该等于7kT/2，于是双原子分子气体的绝热指数为9/7。但是在室温下，双原子分子气体绝热指数的实验值约为1.4，经典理论值与实验值存在明显偏离。若考虑量子效应，双原子分子的固有频率很高，而谐振子能级间隔正比于固有频率，从而室温下振动自由度没有被激发，此时能量均分原理不适用于振动自由度。考虑这一点之后，双原子分子的平均能量为5kT/2，由此可以得到绝热指数为7/5=1.4，与实验值相符。

这个公式与实验结果符合得非常好。

受普朗克的启发，爱因斯坦进一步假设光是一种粒子，并以此解释光电效应。光电效应指的是光照射到金属上“打”出了电子，并形成电流。根据经典理论，光电效应的出现是由于电磁波的电场部分使电子在金属中运动并逃逸出来。由此，即使光的频率比较低，只要光足够强，就可以出现光电效应。然而实验表明，存在一个截止频率，当电磁波的频率低于截止频率时，无论光强多大，都无法产生光电流。而爱因斯坦利用光子的概念成功地解释了光电效应。

爱因斯坦假设的光子能量与普朗克假设的黑体辐射单份能量一致。假设光子(动)质量为m，由狭义相对论，光子能量为E=mc^2，动量p=mc，那么动量可以改写为

后来，德布罗意参考了爱因斯坦的光子理论，提出一个更加大胆的假设，认为所有粒子都具有波的特性，且波长为h/p，此即所谓的“物质波”理论。此后，该理论在不同的粒子上都得到了验证。德布罗意的物质波理论表明，粒子不仅是粒子，具有动量和能量，同时也是波，能够发生衍射、干涉等效应，这就是波粒二象性。

虽然这个公式是在光子的基础上推导出来的，但是我们可以合理地假设它也适用于一般的自由粒子的德布罗意波。

薛定谔方程的提出 波函数的物理意义

既然认为所有粒子都是一种波，那么就需要一个描述其演化的波动方程。张朝阳给现场的听众和线上的网友们介绍了薛定谔猜测波动方程的思路。首先，自由粒子的波函数满足

为了简单起见，这里只处理一维情况。上述波函数对时间和位置求导，有

这就是一维自由粒子的薛定谔方程。

如果考虑存在势场U(x,t)的情况，那么粒子的总能量就要包含势能。为此，引入如下能量算符：

这个算符对应经典力学的哈密顿量，因此又被称为哈密顿算符。考虑了势能之后，薛定谔方程为

张朝阳介绍说，他在这里讲的量子力学是波动力学。在量子力学诞生初期，有两种形式的理论被提出来，一种是波动力学形式，另一种是矩阵力学形式，不过后来这两种形式被证明是等价的。

波函数的物理意义是什么呢？假如利用薛定谔方程求解得到波函数，能做出什么物理预言呢？这就涉及到量子力学的诠释了。目前物理学界的主要观点是统计诠释，波函数的模方等于测量粒子位置时测量结果的概率分布。因此，波函数需要满足归一化条件：波函数模方在全空间的积分等于1，代表的是在全空间内找到粒子的概率为1。可归一化是一个很强的条件，很多量子化的来源都是波函数的可归一性质。“波函数是一个单值的、处处连续的、可归一化函数”，总结成简单的口诀，就是波函数“单值、连续、可归一”

当势能不随时间改变时，可以借助分离变量法去掉波函数对时间的依赖。假设波函数的空间部分和时间部分可以分离：

于是f(t)满足

它被称为定态薛定谔方程。满足定态薛定谔方程的态被称为能量本征态，它具有固定的能量E，且能量值是哈密顿算符的本征值。

希尔伯特空间 算符与平均值

薛定谔方程是一个齐次线性方程，因此对于满足该方程的两个或多个解，相应的线性叠加依然是该方程的解。所以，波函数构成一个线性空间。进而，在波函数空间上可以定义内积，并且由这个内积诱导的度量是个完备度量。根据数学上对希尔伯特空间的定义：完备的内积空间被称为希尔伯特空间。因此，波函数空间是希尔伯特空间。

这些数学概念都太抽象了，因此张朝阳以简单的三维空间为例来说明波函数空间的性质。在三维空间中，任何矢量都可以在直角坐标系的基矢下展开，比如位置矢量：

这样一组基被称为单位正交基。在这组单位正交基下，把位置矢量记为

其中*号表示对波函数求复共轭。波函数空间上也存在相应的单位正交基。特别地，每一个经典物理量对应的算符的全部本征矢在归一化之后可以构成一组单位正交基(注：严格的表述是，自共轭算符的全部本征矢在归一化后构成一组完备正交基。诸如能量、动量、角动量、位置这四个常用的物理量对应的算符都是自共轭算符)。比如，对于动量算符，它的本征矢满足

上式已经将离散求和形式改写为积分形式，这是因为动量算符的本征值在很多情况下都是连续的。

动量算符在一个具体的态ψ(x)下的均值为

就表示测量动量后，与得到的动量值相对应的概率密度。因此，前面使用的动量均值公式是合理的。

现场互动答疑解惑 共同探讨物理问题

在其后的互动环节中，张朝阳还与现场听众探讨了各种物理问题。比如“在低能级的时候，系统的能量是离散的，但是能量高的时候，系统的能量表现为连续的，这是为什么呢？”为了解答这个问题，张朝阳以氢原子能级举例说明。氢原子的能量正比于-1/n^2，当氢原子处于低能级的时候，n很小，能量表现为离散的。当氢原子处于高能级时，n很大，虽然这时能量依然是离散的，但是能级之间的间隔趋于无穷小，因此能量表现为连续的。

对于听众提出的“怎么通过氢原子的基态验证不确定性原理”的问题，考虑到本次课程主要讲了量子力学的一些基础知识，还未对氢原子进行求解，张朝阳只对这个问题作了半定量的回答。氢原子的尺度为玻尔半径

注意这里为方便，使用的是高斯单位制。当需要使用国际单位制时，只需在出现e^2处乘以库伦定律的比例系数即可。单位制的选择不影响讨论的结果。

动量的不确定度可以通过库仑势能的大小来估算：

可见氢原子波函数是满足不确定性原理的。

互动环节中，有听众还提到了与往期课程中潮汐相关的问题，例如：潮汐的周期为什么不是精确的12小时？张朝阳解释说，如果月球静止不动，那么潮汐的周期确实是半天，也就是12小时。但是在地球自转的同时，月球也在绕着地球公转，公转方向和地球自转方向一致。考虑到这一点之后，可以计算出潮汐的周期比12小时长大约二十多分钟。

此外，中国科学院物理研究所副研究员李治林作为特邀嘉宾，与张朝阳一起和听众们进行了互动交流。“如果使用很大的力挤压氢原子会发生什么？”李老师对这个问题进行了解答。在量子力学里，比“力”更方便的是“势”及其梯度的概念，因此，所谓用很大的力挤压氢原子，可以等效描述为逐渐变窄的、陡峭的势阱对氢原子的约束。考虑无限深势阱，当势阱宽度逐渐变窄时，氢原子的动量不确定度越来越高，能量也越来越高。如果是一维无限深势阱，那么氢原子还会从其他方向逃逸出来。如果是三维无限深势阱，随着“挤压”过程的继续，在最极端的情况下，甚至氢原子自身也会发生改变，其中的质子和电子会通过弱相互作用形成一个中子并释放出一个中微子。这与中子星的形成机制是类似的。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

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