测不准关系与傅里叶变换有关？《张朝阳的物理课》介绍不确定性原理

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不确定性原理和傅里叶变换有关？如何利用氢原子波函数验证不确定性原理？5月8日中午12时，《张朝阳的物理课》第五十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，承接上一次线下课程的内容，介绍了如何基于氢原子波函数验证测不准关系，并深入探讨了波函数在动量空间下的展开，借此解释了不确定性原理与傅里叶变换的关系。

测不准关系是对的吗 氢原子波函数做验证

在上一期的线下课中，有听众提问，如何通过氢原子波函数验证测不准关系？当时张朝阳给了一个初步的解答。在本节课程中，他对这个问题作了更深入的分析。

测不准关系，或称不确定性原理。它可以简单表述为同时测量位置和动量时，位置的不确定度Δx和动量的不确定度Δp满足

考虑到量子力学的统计诠释，比如测量位置时，已知粒子波函数为ψ(x)，那么在区间[x,x+dx]上找到粒子的概率为

那么Δx大约等于(位置)波函数的弥散范围。类似地，Δp约等于波函数在动量空间展开后的弥散程度。

对于氢原子，忽略氢原子整体运动的自由度，氢原子的哈密顿算符可以写为

其中μ是约化质量，它和电子质量、质子质量的关系为

哈密顿算符中的u(r)是库仑势，它等于

张朝阳强调，在量子力学里人们几乎不再使用力的概念，转而考虑势。在经典力学中，力正比于势的梯度，因此无论使用力来描述还是使用势来描述，都是等价的。只不过由于牛顿第二定律的加持，力看起来比势更基本。而在量子力学中起主要作用的是哈密顿算符，势能是其中一部分，因此人们更关注势而非力。

据悉，在下一期线下课时，张朝阳将会向大家介绍如何求解氢原子问题。在此，他直接给出了氢原子的一些结论。比如，氢原子的能级是

其中n取正整数值，a0是玻尔半径。于是，氢原子的基态能量为

同时，张朝阳给出了氢原子基态波函数：

前面使用斜体字母e表示元电荷，故这里用exp表示以自然常数e为底的指数函数，以避免混淆。上述波函数是哈密顿算符的本征函数，于是

所以

接着，张朝阳介绍怎么计算势能的均值。这可以通过将波函数代入得到：

代入前面倒数第二个等式，有

所以

在这里，将(Δp)^2近似为动量算符平方的均值。进一步地，由于基态氢原子的大小约等于玻尔半径，所以

这样就有

开方得到

这正是张朝阳在上一期线下课所得到的结果。所以，氢原子基态满足测不准关系，在此得到验证。

（张朝阳验证氢原子基态波函数满足测不准关系）

他还介绍，对于能量和时间也有一个类似于测不准关系的式子，只不过其中的Δt不能简单地解释为时间的不确定度。对于这个关系，张朝阳提了氢原子能量本征态的例子。当氢原子处于能量本征态时具有确定的能量，所以ΔE等于0。若忽略扰动，氢原子处在能量本征态上的时间为无穷大，即Δt为无穷大。

突破思维障碍 畅游动量空间

紧接着，张朝阳介绍了波函数在动量空间下的展开。动量算符在位置空间的表达式为

动量本征函数满足

这是一个很容易求解的方程，它的解为(注：由于接下来不再用到电子电荷，所以从这里开始用e表示自然对数之底)

可以直接代入验证是否满足动量本征方程：

ψ_k(x)前面的系数来源于正交基的要求：

对此，张朝阳作了进一步的解释。ψ_k(x)必然正比于e^(ikx)，假设比例系数为A。由于波函数差一个相位不影响物理结果，因此可以假设A>0。求这组基的内积，有

其中用到了如下数学结果：

所以

他强调，当k和k’相等时，波函数内积为无穷大。所以动量本征函数是无法归一化的。这说明动量本征矢不是一个严格意义上的物理态。这是容易理解的，因为全空间的理想平面波只是理想化的结果。实际中的物理态只能是动量本征态的叠加，并且必然是能够归一化的。

张朝阳进一步介绍，对于动量本征态，它的动量是确定的，不确定度为0。而它在坐标空间却充满整个空间，因此位置的不确定度为无穷大。这满足不确定性原理。

动量位置不能同时测准 两百年前已经初现端倪

对于一般的物理态，它可以展开成动量本征态的线性叠加：

假设Ф(k)的最大值处在k0处，并且取值较大的部分集中在k0的±Δk范围内，换言之，k的不确定度约为Δk。Ф(k)的函数图示如下

设

以及

这相当于把Ф(k)的最大值平移到了原点处。于是

由于在最大值点的±Δk范围外Ф(k)约等于0，所以可以将上述积分近似为

积分前面的相位可以暂时忽略。积分内的指数函数可以展开为

它的实部和虚部都是在-1和1之间来回震荡的。当xΔk大于1时，积分内的指数函数会在积分区间里快速震荡，从而使得积分值非常小；当xΔk小于1时，积分内的指数函数比较平缓，积分值一般不接近于0。所以，位置波函数主要集中在xΔk小于1处。因为Δx衡量的是位置波函数的弥散程度，所以Δx约等于1/Δk。考虑到xΔk大于1时，波函数不是严格等于0，Δx有可能大于1/Δk，所以应该严格表述为ΔxΔk大于或者约等于1。考虑到k和动量p的关系，有

这正是位置和动量的测不准关系。

（张朝阳解释不确定性原理和傅里叶变换的联系）

张朝阳对这个结果作了进一步解释。这里的推导只使用波函数在动量空间的展开，而这个展开本质上是傅里叶变换。所以说，是傅里叶变换的性质导致了测不准关系。傅里叶变换和傅里叶级数在两百多年前就被发现了，比量子力学的提出早一百多年。那为什么当时的人们没能发现测不准关系呢？这是因为要想得到测不准关系，还需要把傅里叶变换的频率k和动量p建立起关系，并且需要量子力学的统计诠释。

解答网友提问 探讨氢原子与能量本征态

在本期线上课程的结尾，张朝阳还与网友们进行了实时互动。对于有网友提问为什么氢原子会处于能量本征态？张朝阳介绍，氢原子不一定都处于能量本征态，但是它的态肯定能表示成能量本征态的线性叠加。进一步地，这里处理的氢原子模型是比较理想化的，实际上氢原子不断受到扰动。在这些扰动下，一些原本能量较高的氢原子可能会释放出光子并跃迁到低能态。所以，即使在某个时刻氢原子处于某个由能量本征态叠加而成的态，经过一段时间后，它都会处于某个能量本征态上，而这个能量本征态大概率是基态。

此外，对于“为什么我们要关心能量本征态？”的问题，张朝阳解释，任何一个可观测量算符的本征矢都可以作为正交基，因此都可以用于态的展开，从这个角度来看，所有可观测量都是平权的。那为什么能量本征态要得到重视呢？浅显地说，之所以处理能量本征态，是因为在势场不含时的情况下，对薛定谔方程做分离变量，自然而然地会得到能量本征方程，也就是定态薛定谔方程。所以人们不可避免地要经常面对能量本征态。

但是，更值得人们深思的是，为什么薛定谔方程的一边恰恰是能量算符而不是其他算符？为什么是哈密顿算符(能量算符)衡量态在单位时间内的改变量？如果用别的算符替代能量算符的作用，那么人们需要处理的就不是能量本征态了，可见正是因为哈密顿算符出现在薛定谔方程的右边才会导致能量本征态的特殊性。至于为什么恰恰是哈密顿算符，这在自然哲学的角度下是一个宏大的问题。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

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