黑体辐射定律是怎么推导出来的？《张朝阳的物理课》详解谐振子与黑体辐射

经典物理中的黑体辐射公式与量子力学中的有什么不同？利用谐振子的能量公式也能推导黑体辐射定律吗？6月5日，《张朝阳的物理课》线下第四课开讲，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳从经典谐振子出发，求解它的运动规律，得到了能量公式，并利用这些结论推导了黑体辐射的经典公式——瑞利-金斯公式。继而分析瑞利-金斯公式的紫外灾难问题，推导在谐振子能量量子化情况下的黑体辐射公式。进一步地，张朝阳详细求解了量子力学中一维谐振子的能级，说明了用分立能级推导黑体辐射的合理性。

经典力学中的谐振子 静平衡点附近的势能近似

由于本次课程的主题是黑体辐射与谐振子，张朝阳先讲解了经典力学中的谐振子问题。谐振子最简单的模型是光滑水平面的零质量弹簧连着一个质量为m的小球，弹簧的另一端处于固定位置。假设系统处于平衡位置时小球处于坐标原点，根据胡克定律，这个系统的运动方程为

将上式移项并在两端同时除以m，有

定义ω0满足

那么可以求解得到小球的位置与速度分别为

由于余弦函数的最大值为1，上式中的A>0表示谐振子的振幅。小球速度的最大值为A*ω0，且达到此速度时小球正好处于x=0处。

除了用余弦或正弦函数表示谐振子的运动外，通常还可以使用复指数函数。根据欧拉公式，复指数函数的实部为余弦函数，因此

实际使用时，为简便，习惯上经常忽略其中的Re，只需要记住是其中的实部表示真实的谐振子运动即可。

接着，张朝阳开始分析谐振子的能量。在经典力学中，力f与势能u的关系为

对于谐振子，有

另一方面，根据牛顿第二运动定律，有

所以

这正是谐振子的能量守恒定律。式中m*v^2/2是小球的动能，k*x^2/2是小球的势能，势能零点为原点。这个结果表明谐振子的势能与动能之和不随时间改变，是一个常数。当小球处于原点时，势能为零，它只具有动能；而当小球运动到最远点时，动能为零，势能不为零。在这两种情况下总能量是相等的，记为E。容易知道

为什么谐振子如此重要呢？这是因为在系统的静平衡点附近，势能常常可以近似为谐振子势能。以一维情况为例，系统的静平衡点对应着势能取极小值的位置x0，在此处对势能做泰勒展开可以得到

由于势能在x0处取到极小值，因此势能对位置的一阶导数在x0处为0。定义k为

然后坐标原点移动到静平衡点x0处，忽略三阶及以上阶的项，可以得到

可见，在势能极小值附近，势能可以近似为谐振子势。当考虑物体在平衡位置附近做小幅振动时，常常可以将其近似为谐振子运动。正因如此，谐振子在力学中具有重要的地位。

带电谐振子的能量辐射 黑体辐射的瑞利-金斯公式

前面介绍到物体在势能极小值点附近做小幅振动时可以看作谐振子，这对于双原子分子来说也是成立的。因为分子会不停地运动、碰撞，使得双原子分子中的原子会沿着轴线做小幅振动。一般情况下，这些原子都会带有未完全抵消的电荷，从而其振动会辐射电磁波。这是高温物体热辐射的部分来源。

张朝阳介绍带电谐振子的辐射

考虑一个简化的模型，假设谐振子上的质点带有电荷q，它在振动时辐射电磁波，于是会不断损失能量，等效地表现为谐振子遇到一个阻尼作用。类比流体力学中的阻力公式，假设辐射阻尼也正比于质点的速度，比例常数为m*γ，那么谐振子的运动方程为

这个方程可以改写为

使用前面介绍的复指数表示法，设方程的解为

将其代入运动方程可以得到

这是一个关于ω的二次方程，可以使用一元二次方程的求根公式求解，结果为

所以，运动方程的解为

由于只有实部才表示真实的物理运动，所以上式无论取正号还是负号都是等价的。对于大部分情况，γ都远小于ω0，因此近似有

这个结果可用于简化x(t)的表达式。

带电质点的能量为

这个结果与预期的一样，能量是衰减的。容易直接计算得到它的能量衰减速率为

根据以往直播课程得到的结果(参见《张朝阳的物理课》第八期内容)，带电质点做振幅为A的谐振运动时，其平均辐射功率为

辐射出去的能量必然等于谐振子衰减掉的能量，也就是

等式左边的项正比于A^2，而等式右边的E也正比与A^2，这个结果说明前面假设辐射阻尼正比于速度是合理的。代入谐振子的能量公式，可以得到

随后，将这些结果应用到黑体辐射的分析当中。在黑体辐射理论中，黑体被假设为一种吸收所有入射光的物体，同时也会辐射电磁波。黑体与空间中的“杂乱”电磁波形成热平衡。为了达到热平衡，空间中的“杂乱”电磁波频谱必然等于黑体的辐射谱。

空间的“杂乱”电磁波频谱只与电磁场的热力学性质有关，与黑体的内部机制无关，这也说明了黑体的辐射谱与黑体内部的辐射机制无关。因此，可以把黑体看成由无数个带电谐振子组成。因为只有共振才能达到最大的能量吸收，为保证这样的黑体能够吸收所有入射光，黑体必须具有任意固有频率的谐振子。

为了与能量做出区别，用花体E表示电场。既考虑辐射阻尼也考虑入射电磁波的电场分量，谐振子的运动方程为

这个运动方程也可以通过假设一个指数形式解来快速求解。当辐射阻尼不存在时，如果ω与谐振子的固有频率ω0相等，谐振子的振幅会发散。但是当辐射阻尼存在时，辐射阻尼会阻止振幅达到无穷大。不过，谐振子的振幅依然会在ω=ω0处出现一个极大值。

根据以往直播课推导的结果(参考《张朝阳的物理课》第九期)，这样的谐振子的辐射总功率为

其中I(ω)是空间辐射特定角频率的能量密度，r_0=q^2/(4π*ε0*m*c^2)。

因为电磁波是从空间各个方向辐射进来的，这里应该使用各向同性三维谐振子模型。三维谐振子具有三个正交的一维谐振子自由度，根据能均分原理，每个这样的自由度具有的热平均能量为2*kT/2，所以

考虑到前面推导的能量衰减公式，应有

根据第九期的直播课，谐振子的辐射总功率积分可以通过一系列近似求出。例如，由于共振效应导致尖峰，积分式中的很多ω都可以近似取为ω0，这包括I(ω)中的ω。经过这个近似，与ω无关的项可以移出积分号。具体过程请参考第九期的直播课程。求出总的辐射功率后，与上式结合可以得到：

这就是描述经典黑体辐射的瑞利-金斯公式。它与频率的平方成正比，这使得它在紫外波段处会发散——经典物理中的黑体辐射在频率越高处能量密度越大。这个与真实世界不符的结果被称为“紫外灾难”。

谐振子能级的量子化 黑体辐射的普朗克公式

张朝阳介绍说，导致紫外灾难的原因是能量均分定理。根据能量均分定理，无论一维谐振子的频率是多少，它的平均能量都是kT，而这在量子力学中是不成立的。后面会看到，量子力学中的一维谐振子能量是分立的，且能级间隔为ћω。虽然量子力学中的谐振子存在零点能，但是可辐射出去的能量与零点能无关，因此计算能量的辐射功率时无需考虑此项。

根据玻尔兹曼分布，处在各个能级的谐振子数量为

所以，谐振子在忽略零点能时的平均能量为

设

可以将<E>写成

利用如下函数的幂级数展开：

<E>的表达式中，分子部分正好正比于x乘以y(x)的一阶导数，所以

根据这个结果，重复前面的推导过程，可以得到

这正是普朗克的黑体辐射定律。这个理论计算与黑体辐射的实验结果符合得非常好，也就间接验证了谐振子能级量子化。在历史上，物理学家推导黑体辐射是从辐射本身出发的，比如把黑体辐射看成光子气体，每一份能量是ћω。采用光子气体模型推导得到的黑体辐射公式与这里基于谐振子模型推得的结果是一致的。

幂级数方法大显神通 谐振子的能量量子化

接着，为了直接证明前面使用的谐振子能量量子化性质，张朝阳开始求解一维谐振子的定态薛定谔方程。一维谐振子的哈密顿量为

相应的定态薛定谔方程为

这个方程的系数较为繁杂，为了简化它们，定义α与λ满足

所以

在这两个参属下，方程可以写为

在上式两端除以α^2，并引入新变量ξ=αx，方程简化为

观察这个方程，如果直接使用幂级数解法，方程中的第一项会让幂级数中的项降两阶，方程中的第二项存在两个子项，其中一个子项保持幂级数的项的次数不变，而另一个子项会让幂级数中的项升两阶。也就是说，这个方程会为三个幂级数系数建立递推关系，这样的递推关系求解起来是很麻烦的。为了避免这样的情况，张朝阳分析对这个方程的渐近行为进行分析，以寻找其它突破口。

当ξ趋向于无穷大时，方程可以近似为

假设它的渐近解为

对它求二阶导数可以得到

当ξ趋向于无穷大时，上式第二项远小于第一项。保留第一项，为了满足渐近方程，有

在这个渐近解的基础上，将薛定谔方程的解写为

将其代入薛定谔方程，有

化简可以得到

类似前面的分析，可以推断，这个方程对应的幂级数系数递推关系只与两个幂级数系数有关，这时候就可以用幂级数方法来求解了。设

将其代入u的微分方程中可以得到系数的递推关系为

将其写为比值形式：

由于这个递推关系联系的是间隔的幂级数系数，因此可以根据奇偶次数将方程的解分成两个线性无关的解：

其中一部分只包含偶数次项，另一部分只包含奇数次项。根据递推关系，这两组解的具体形式分别由a0与a1的值决定。当a0=0时，第一个解恒等于0；当a1=0时，第二个解恒等于0。

当k趋向无穷大时，考察系数的变化规律，并与常见函数的泰勒展开做比较，可以发现：

于是，谐振子波函数满足

这样的波函数是无法归一化的。因此，这个无穷级数必须截断成为多项式。观察递推关系，无穷级数截断成多项式的条件为

可见λ只能取正的奇数值。但是，当λ的值取定为某个奇数值时，比如λ=4m+1时，2k+1=4m+1会得到k=2m为偶数，所以这样的λ取值只能截断u(ξ)中的偶数次的部分。那奇数次的部分怎么办？为了保证波函数归一化，必须让这一部分直接等于0，也就是让a1=0；当λ=4m+3时，2k+1=4m+3会解得k=2m+1为奇数，所以这时候的λ只能截断级数中的奇数次那部分，为了让波函数能够归一化必须取a0=0把偶数次的部分置为零。总而言之，只要λ取正的奇数值，总可以得到唯一的归一化函数解。

假设λ取值为(2n+1)，考虑到能量E与λ的关系，可以得到

这个结果表明，对于频率为ω的谐振子，其能量是量子化的，且能量间隔是ћω，这与前面推导普朗克黑体辐射定律时所用性质一致。同时，可以看到基态谐振子的能量并不为零，而是等于ћω/2，这就是谐振子的零点能。不过在计算谐振子的辐射能量时，零点能无法辐射出去，因此可以忽略这部分能量。

张朝阳推导谐振子的能级公式

张朝阳还介绍说，谐振子的波函数具体形式比较复杂，需要用到厄密多项式。不过，基态波函数还是很简单的：

这个波函数正好对应着高斯分布。

现场互动答疑 探讨物理问题

介绍完本节课程内容后，张朝阳还与现场听众探讨了各种物理问题。 比如“怎么对谐振子基态验证不确定性关系？”为了解答这个问题，张朝阳进行了一些简单的推导。

基态能量为ћω/2，如果忽略势能，有

考虑到基态波函数对应正态分布，而正态分布主体部分处在左右拐点之间，从而有：

所以

由此简单的近似结果可以看出不确定性关系是满足的。

还有听众提问：“如果人吃了食物，然后靠黑体辐射散发热量，那么需要散发多久？”对此，张朝阳没有计算需要散发的时间，而是计算了辐射功率。假设人的表面积为2平方米，体温是36.4摄氏度，环境温度为20摄氏度，并且把人看成是黑体，那么辐射功率为

每焦耳约等于0.24卡路里，上述功率换算后约为48卡路里每秒，那么十分钟就可以辐射掉大约29千卡的热量。不过，这个计算是很理想化的情况，实际中还需要更仔细的分析。

互动环节中，有网友提到：“谐振子的基态能量不为零有什么物理意义吗？”张朝阳解释说，这正是不确定性原理的结果。因为哈密顿量为动能与势能之和，动能正比于动量的平方，势能正比于x的平方。根据对称性，谐振子定态的位置均值与能量均值都必须为0。如果基态能量等于0，那必然会使得x^2与p^2的均值都为0，从而Δx与Δp都等于0，就与不确定性原理相矛盾了。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

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