无限深势阱的薛定谔方程怎么解？《张朝阳的物理课》讲分离变量法

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无限深势阱的薛定谔方程怎么解？1月9日12时，《张朝阳的物理课》第十九期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，仔细分析了相速度与群速度的差别，阐明群速度才是传递能量与信息的速度。并利用分离变量法，得到定态薛定谔方程，又以无限深势阱问题为例，具体解出分立的能级和能量本征态波函数。最后引入并赋予傅立叶变换物理意义，再次探讨不确定性原理，一窥量子力学世界。

与往期直播逐步推导公式不同，一开场张朝阳直奔主题，在“直播白板”上写下薛定谔方程。“它相当于微观世界的牛顿定律。”张朝阳说，“数学家要穷尽所有的可能性，但搞物理的人，会去猜几种特别的情况，所以今天我们来猜猜它的解。”他同时也提醒网友，“学习量子力学，需要掌握微积分、线性代数，傅立叶变换等基础知识。”这些知识也在讲课中尽数用到。

利用分离变量法求解 得到定态薛定谔方程

张朝阳先是带着网友复习上节课讲到的波的速度的概念，探讨了相速度与群速度。随后，他开始通过分离变量法解薛定谔方程。方程里的波函数既含有对时间t的偏导，也有对位置x的偏导，采取分离变量法，将时间t与位置x分开，也就是假设波函数具有如下的形式：

代入薛定谔方程中，便可将含有位置x的项与含有时间t的项，分开到等号两边，即：

张朝阳介绍，由于这个式子对任意的位置x与时间t都成立，所以等号左边（或右边）是一个与位置x和时间t都无关的常数，我们假设这个常数为E，则可将原来复杂的二元微分方程分解为两个一元微分方程：

“这就大幅降低了解方程的难度。 若再将其化简一下，即可得到定态薛定谔方程。”张朝阳边写边说。

（张朝阳在“直播白板”上推导定态薛定谔方程）

探索无限深势阱 得到分立的能级

为具体展现求解薛定谔方程的完整过程，张朝阳举了无限深势阱的例子。他介绍说，当位置x在0到a之间，势能U（x）为零，而其它地方势能无穷大，所以波函数在位置0到a区域之外都为零，而由于波函数又有连续的性质，所以波函数在x=0与x=a时也为零。于是，当x在0到a之间时，可写出其定态薛定谔方程：

对应的边界条件为：

这个微分方程是非常经典而容易解的，张朝阳解出这个一元微分方程，便得到能级E的表达式：

与对应的能量本征态波函数：

其中，n取正整数。

（张朝阳在“直播白板”上解无限深势阱的能级）

“与经典理论的连续性有很大不同，可以看到能量E是分立的。”张朝阳总结。

赋予傅立叶变换物理意义 探讨不确定性原理

在随后的直播中，张朝阳还介绍了数学的傅立叶变换与量子力学表象之间的关系。“动量在量子力学里其实是个算符。”他在白板上逐步推导：

他介绍，若某量子态满足如下公式：

则说明这个量子态是算符的本征态，而数值p就是这个本征态对应的本征值。此时就是描述动量为p的粒子的波函数。

传统的数学傅立叶变换是：

“这跟量子力学不确定性原理是相符的。”张朝阳说。

“我们今天介绍了薛定谔方程在一个简单情形下的应用。未来将继续讲解薛定谔方程，求解氢原子问题。”直播尾声，张朝阳告诉网友，“下一堂课，将对量子力学做进一步的探讨。”

搜狐视频发力知识直播 传播知识玩转科学

自11月5日至今，《张朝阳的物理课》已直播十八期。在第一、二课中，张朝阳科普了“力”和“速度”，算出飞船和空间站每日绕地飞行圈数；第三、四课和“振动”相关，科普可见光的基本知识。第五、六课引发了关于音速和温度的大讨论。在第七、八、九课重温经典力学的“两朵乌云”；第十、十一课重点回顾黑体辐射曲线及其应用；第十二、十三、十四课尝试进入爱因斯坦的思想世界，推导出著名的公式“E=mc²”，并论证钟慢尺缩效应。第十五课讲解了原子的结构和原子核的衰变。第十六课开始进入量子力学，讨论光的波粒二象性、康普顿散射、海森堡不确定性，以及薛定谔方程等。

从这十多期的物理课可以看出，《张朝阳的物理课》的直播风格独树一帜——通过观察日常生活现象、用网友最熟悉的话题来提升兴趣，再以公式推导的方式解释其背后的物理原理，“透过现象看本质”，进而反过来解决生活中的类似问题。

张朝阳认为研究自然界是特别有意思的事情，他希望物理课的受众能保有好奇心，“在好奇心驱使下，了解自然界的奥秘，了解我们在这个世界生存的道理”。在后续课程中，他还将继续以这种直播风格解释生活中常见的物理现象，让普通人能够听懂、专业人士也能认可，激发科学学习的热潮。该课程于每周周五、周日12时在搜狐视频直播。

除《张朝阳的物理课》外，搜狐视频也邀请多位通识教育播主，科普知识，传递价值。北京交通大学理学院教师陈征博士玩起了“奇趣的科学实验”，走进“光的波粒二象性”；康奈尔大学物理化学博士包坤，化身“包大人玩科学”，教普通人看懂2021年诺贝尔奖；还有天体物理博士刘博洋科普“日全食是怎么产生的”等。未来，还将有更多知识播主入驻，一起玩转科学。

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