《张朝阳的物理课》气体比热随温而变？ 探究双原子分子比热问题

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2月13日12时，《张朝阳的物理课》第二十八期准时开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，探究双原子分子的比热问题。他向网友介绍比热的概念，先推导单原子理想气体的比热，再利用能量均分定理推导双原子分子的比热，但与实验在室温下测得的数据不符。为了解释实验上观察到的定容比热随温度的阶梯变化，张朝阳引入了量子力学中分立能量的概念，以氢气与一氧化碳为例解释了阶梯曲线。最后利用玻尔兹曼分布与谐振子能级，计算了包含零点能的振动能平均能量，导出振动能对应的比热，与比热阶梯图在温度较高时的曲线变化一致。

“我们的课程有很丰富的内容，如果不复习的话，还是有一定的难度。”今天开讲之前，张朝阳提醒网友学习物理要勤加复习，“一定要下载搜狐视频App。”他继续说，“我们还是学点物理吧，尽管有点费脑，但它是真实的、重大的，跟我们每个人的生活息息相关。”

经典力学的比热：比热依赖自由度 能量均分是基础

本节课张朝阳带着网友先研究摩尔比热容问题。摩尔比热容是1mol物质温度升高1K所需的热量，分为定容比热容和定压比热容。在温度升高的前提下，前者要求物体体积不变，后者要求压强不变。一般升高温度时，为了保持压强不变需要膨胀体积，物体对外做功会消耗内能，所以升高同样温度时，定压情况会比定容情况吸收更多的热量，即定压比热容一般会比定容比热容大。张朝阳介绍，这里只考虑定容摩尔比热容，为了方便，统称为定容比热。

“先来看单原子理想气体的比热情况。” 他提示，在温度为T时，根据能量均分定理，每个原子在每个自由度上具有1/2kT的能量，其中k是玻尔兹曼常数。那么一个方向上的动能具有1/2kT的能量，由于这里的理想气体是三维的，有三个方向，一共有3/2kT的能量，那么N个原子组成的气体的总内能是：

将粒子数N用摩尔数n与阿伏伽德罗常数A表示为N=nA，则内能用摩尔数表示为：

其中，R=kA为普适气体常数。那么计算1mol物质温度升高1K所需的热量就得到单原子理想气体的定容比热：

讨论完单原子理想气体的比热后，张朝阳带领网友继续研究双原子分子理想气体的比热问题。同样根据能量均分定理，双原子分子每个自由度上分配1/2kT的能量，双原子分子有3个质心平动自由度，有2个转动自由度和1个振动自由度，除了动能自由度外，其振动对应的势能也可以储存能量，从而也贡献1个自由度，这样一共有7个自由度，那么单个分子的能量是7/2kT，类似单原子分子的计算，也可以求得双原子分子理想气体的定容比热是：

遗憾的是，实验上测得的室温下双原子分子气体的定容比热并不是7/2R，而是5/2R。为什么会这样？他将悬念留在后面。

被“冻结”的自由度：转动振动逐级解冻 定容比热阶梯上升

张朝阳继续进行推导，“双原子分子气体的定容比热是随温度变化的，变化曲线像阶梯一样。”

（定容比热随温度的阶梯图）

“要解释定容比热随温度的阶梯变化，就需要用到量子力学中能量分立的事实，以及玻尔兹曼分布的概念。”张朝阳介绍。玻尔兹曼分布是指粒子在不同能级上分布的概率满足：

若能级0为基态，由于能级能量在e指数上而且为负，粒子出现在某激发能级上的概率，随该能级能量的升高而快速下降。为了分析在室温下粒子处在激发态上的概率大小，张朝阳将kT用波数表示出来大约为200/cm，如果要激发的自由度的能量∆E对应的波数比这个大得多，那么出现在这个自由度对应的激发能级上的概率将会非常小，分配到这部分自由度的能量将明显减少，不再像能量均分定理所说的那样平均分配。

张朝阳以一氧化碳为例，根据双原子分子转动能级角动量公式，激发其转动能对应的特征波数B大约为2/cm，比室温下的kT对应的波数要小得多，于是其转动能可以被比较完整地激发，满足能量均分定理。但激发一氧化碳振动能所对应的波数则远远大于室温下kT对应的波数，按照玻尔兹曼分布公式，粒子处在振动能激发态的概率会非常小，几乎都处于基态，其振动自由度被冻结，所以计算比热时可以忽略振动部分的2个自由度，从而室温下的比热的实验测定值就是5/2R。

经过推导分析，不难理解比热随温度的阶梯性质。张朝阳解释，当温度较低时，kT较小，只有三个自由度的质心平动能可以被完整激发，对应的比热是3/2R。温度增大时，kT逐渐变大，粒子出现在转动能激发态上的概率增加，越来越多的能量可以分配到转动能上，2个转动自由度冻结解除，得到的比热就是5/2R。当温度继续升高，以至kT可以与振动能相比拟时，出现在振动激发态上的概率增大，最终振动能自由度也可以贡献比热，最终得到的比热为7/2R。这就解释了比热随温度呈现阶梯状，以及各平台对应的比热值。

统计方法计算振动热容： 粒子指数布居 能级简并度相同

“除了能量均分定理可以计算比热，我们还可以通过玻尔兹曼分布与量子力学能级计算比热。”张朝阳继续推导，由于振动能级非常简单，我们以双原子分子理想气体为例，计算其振动自由度对应的比热。气体分子能量服从玻尔兹曼分布，分子处在不同能级的概率为：

那么，双原子分子理想气体中，单个分子的能量期望值为：

在温度较高，kT>>ℏω 时，上述能量可以按照ℏω/（kT）展开：

可以求得振动自由度贡献的比热为：

这与能量均分定理求得的2个振动自由度贡献的比热结果2*1/2 R一致，也与定容比热随温度升高的阶梯图平台值一致。

（张朝阳用玻尔兹曼分布推导分子振动能量）

打造知识直播平台：搜狐视频发力价值直播 吸引诸多科普播主入驻

截止目前，《张朝阳的物理课》已直播二十多期。在第一、二课中，张朝阳科普了“力”和“速度”，算出马斯克的飞船和中国空间站每日绕地飞行圈数；第三、四课和“振动”相关，科普可见光的基本知识；第五、六课引发了关于音速和温度的大讨论；在第七、八、九课重温经典物理学的两朵乌云。

第十、十一课重点回顾黑体辐射曲线及其应用；第十二、十三、十四课尝试进入爱因斯坦的思想世界，推导出著名的公式“E=mc²”，并论证钟慢尺缩效应；第十五课讲解了原子的结构和原子核的衰变；第十六课开始进入量子力学，讨论光的波粒二象性、康普顿散射、海森堡不确定性原理，以及薛定谔方程等。

从二十多期的物理课可以看出，《张朝阳的物理课》的直播风格独树一帜——通过观察日常生活现象、用网友最熟悉的话题来提升兴趣，再以公式推导的方式解释其背后的物理原理，“透过现象看本质”，进而反过来解决生活中的类似问题。

张朝阳认为研究自然界是特别有意思的事情，他希望物理课的受众能保有好奇心，“在好奇心驱使下，了解自然界的奥秘，了解我们在这个世界生存的道理”。该课程于每周周五、周日12时在搜狐视频直播。同时，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看往期完整视频回放。

除《张朝阳的物理课》外，搜狐视频也邀请各专业领域头部播主入驻，直播科普知识，传递价值。北京交通大学理学院教师陈征博士玩起了“奇趣的科学实验”，走进“光的波粒二象性”；康奈尔大学物理化学博士包坤，化身“包大人玩科学”，教普通人看懂2021年诺贝尔奖；还有天体物理博士刘博洋科普“日全食是怎么产生的”，理论物理博士后周思益也开通“弦论世界”直播课等。未来还将有更多知识播主入驻，一起互动玩转科学。

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